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分形几何

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全世界的学生都在学习几何学的原理。勾股定理、表面积和体积、π。这种传统或欧几里得几何学非常适合人类创造的世界。但是,对于自然界中超出规则人体结构范围的结构,许多规则都不复存在。云彩不是正圆形,山川不是对称的椎体,而光线也不以直线传播。自然界是不规则的,直到最近,这种不规则性才能够得以测量。分形几何的发现使得以数学方法探索自然界中各种不规则形状成为可能。1961年,Benoit Mandelbrot 在位于纽约约克高地的 Thomas J. Watson Research 研究中心担任研究科学家。作为刚刚进入专业研究的年轻学院派,Mandelbrot 的确是 IBM 一直在招募的那种知识型的特立独行者。他的任务相当简单:IBM 正在研究通过电话线传输计算机数据,但一种白噪声导致信息中断—阻止了信号传输— IBM 要求 Mandelbrot 为这一问题提供新的解决视角。

在他还是一个小男孩时,Mandelbrot 就非常善于以可视化的方式思考,于是,他抛弃了既有的分析技术,而是本能地从形状上考察白噪声—这是 IBM 现在知名的数据可视化实践的雏形。一个扰动图形很快揭示了一种奇特的特征。无论图形的比例是多大,无论代表一天、一小时还是一秒钟的数据,扰动模式令人惊讶地相似。有一种更广义的结构在起作用。

Mandelbrot 也遇到了相似的问题,他想起了他作为数学家的叔叔 Szolem Mandelbrojt 几年前在法国曾经给他的建议—尝试一下法国数学家 Pierre Fatou 和 Gaston Julia 建立的迭代理论。他们的工作激发了全球的数学家反复论证最简单的公式:z = z2 + c。这个公式采用变量z和参数c,映射了复平面上的数值—其中x轴测量复数的实数部分,而 y 轴测量复数的虚数部分 (i)。

在当时听到这个建议时,Mandelbrot 并没有实现任何突破,但他在 IBM 发现的知识自由度使他能够全力参与到这个新项目中。1980年,借助 IBM 的技术和人才,Mandelbrot 使用高性能计算机对公式进行迭代,将使用公式的第一个输出值作为下一个输入值。通过这些计算机,Mandelbrot 对数字进行了成千上万次的运算和处理,最终绘制了输出值的图形。

最后的结果是一个形似臭虫的形状。但 Mandelbrot 仔细看时,他看到这个形状的边缘变小,与较大的形状一样。此外,每个小版本都要比前一个版本包含更复杂的细节。这些结构并不完全一样,但整体形状惊人地相似,而只有细节不同。结果证明,这些细节的特异性仅限于计算等式所用的机器的能力,而相似的形状可以永远持续下去—无限地揭示越来越多的细节。这是一种明确的几何学,这种不规则性有一定的规则和参数,但它又是一种以前未被科学家发现的几何学。

Mandelbrot 集的放大

观察 Mandelbrot 集内包含的重复结构。

Mandelbrot 立刻知道了他有了新的发现。他看到了这种形状的细节中的毫无疑问的组织结构,并很快发布了他的发现、这种形状和结构(后来被称为 Mandelbrot 集)是“分形”对象的极为复杂且美丽的例子。“分形”一词是由 Mandelbrot 在 1975年创造的,用于描述这类重复的或者自身相似的数学图形。但是,直到 Mandelbrot 在1982年出版《自然界的分形几何》(The Fractal Geometry of Nature)一书时,他才受到了公众的关注和广泛接受。在本书中,Mandelbrot 特别指出了自然界中的许多分形几何。他举出的最基本的例子是树。他说,树的每个分支—从树干到树枝再到树杈等—都惊人地相似,但细微的差异提供了越来越多的细节和复杂性,展现了整棵树的内部结构。由于他的本职工作是开展学术研究,因此,Mandelbrot 不仅仅识别这些自然物质,而是提出了合理的数学理论和原理,从而创造了“分形几何”一词。

宇宙几何学从此出现—打破了人类创造的世界的全部欧几里得法则,并且尊重自然界的属性。Mandelbrot 表示,如果一个人发现了自然界的根本结构,就可以使用分形几何的概念了解其组成部分,并假设它在未来会变成什么样。这种观察我们周围事物的新方式以及对现实的全新理解为自然界和人类创造了多项重大发现,并且展示了它们不想以前想象的那样孤立存在。

以生物学为例。分形几何几乎出现在我们身体中的所有生理过程中。在很长时间内,人类心脏被认为是以规则的线性形式跳动,但最近的研究表明,对于健康的心脏,真正的心率以特殊的不规则形式显著波动。血液也以不规则方式在人体内分布。多伦多的研究人员采用超声波成像鉴别健康和患病肾脏中血液流动的不规则特征。它们希望测量这些血液流动的不规则方面,并使用数学模型比以前更早地检测出癌变细胞的形成。通过利用分形几何方法,医生不需要更清晰的医学图像或者更强大的机器就可以看到这些细小的癌变前的结构。数学将提供尽早的检测,而非显微镜。

生物和医疗只是分形几何的其中两个最新应用领域。Mandelbrot 集引发的新发展如同它产生的形状一样多姿多彩。用于拾取最广泛的已知频率的分形跳线现在已经用到许多无线设备中。图形设计和图像编辑程序使用分形几何制作极为复杂的图形和逼真的特效。树林的分形统计分析可以测量并量化世界可以安全地处理多少二氧化碳。

如今,我们只是刚刚了解分形几何能够做什么。天气形势、股市价格变化和银河星团都已证明是自然界中的分形几何,但我们利用这些知识能做什么?这将把我们带向何处?正如 Mandelbrot 集一样,我们将面临无穷的可能性。

Benoit Mandelbrot 是一个万事通。尽管他以发现分形几何而闻名,但 Mandelbrot 还在艺术和数学之间架起了桥梁,并且展示了这两个世界并非互相排斥。他以创新形式解决问题的方法激发了同行、同事和学生,并在 IBM 公司灌输了对于未来前景的坚定信念。在他发现 Mandelbrot 集几十年后,数据可视化持续提供全新的、意外的洞察力,通过改变我们的观点,挑战我们的成见,以及展现以前看不到的联系而使我们了解世界上的一些最棘手的问题。

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